La loi de Benford comme outil de planification et de contrôle de l’audit : une analyse des dépenses municipales

Auteur : Georgios Stefanou, M.Sc., Ph.D., Chef de département, Cour des comptes hellénique – Bureau du Commissaire dans la préfecture de Messénie

Résumé

Cette étude présente une application pratique de la loi de Benford aux données relatives aux dépenses de deux municipalités grecques, Messini et Trifylia, dans le but d’évaluer dans quelle mesure ces transactions financières sont conformes aux distributions de chiffres attendues telles que définies par la loi de Benford. L’objectif principal est d’évaluer l’utilité de la loi de Benford en tant qu’outil dans les processus d’audit du secteur public et de déterminer si elle peut signaler des anomalies justifiant des procédures d’enquête plus approfondies.

Nous avons appliqué des tests Z et des tests du Chi carré aux contrats de dépenses de 2021 afin de mesurer la conformité avec la distribution de Benford pour les premier et deuxième chiffres. Les écarts statistiquement significatifs par rapport aux fréquences attendues des chiffres ont été considérés comme des indicateurs d’irrégularités potentielles, justifiant ainsi un examen d’audit plus approfondi.

L’analyse a révélé que la loi de Benford peut constituer un outil d’évaluation préliminaire précieux pour la détection d’anomalies. Les contrats s’écartant des distributions attendues peuvent orienter la hiérarchisation des priorités d’audit. Les résultats montrent que la municipalité de Trifylia a fait preuve d’une plus grande conformité à la loi de Benford, tandis que la municipalité de Messini a présenté des écarts plus fréquents et plus marqués.

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1. Introduction

Les avancées des technologies de l’information ont considérablement accru le volume et la complexité des données financières. Dans les pratiques d’audit modernes, les techniques analytiques sont de plus en plus utilisées pour rationaliser les processus d’audit et améliorer la détection des anomalies et des irrégularités dans les dépenses publiques. Comme le soulignent Durtschi, Hillison et Pacini (2004), ces techniques simplifient et améliorent les procédures d’audit.

Cette étude explore l’utilisation de la loi de Benford comme méthode statistique pour identifier les irrégularités dans les dépenses publiques, en particulier au sein des données financières de deux municipalités. La recherche évalue si ces dépenses correspondent à la distribution attendue des chiffres selon la loi de Benford et examine les implications de tout écart observé.

La loi de Benford a déjà été appliquée dans de nombreuses études pour la détection de fraudes dans les finances publiques, notamment dans des travaux notables de Carslaw (1988), Nigrini (2005) et d’autres. L’importance de cette étude réside dans son application pratique de modèles prédictifs d’irrégularités pour l’évaluation de la transparence dans l’administration publique.

2. La loi de Benford et sa pertinence en matière d’audit

La loi de Benford prédit la distribution de fréquence des chiffres dans des ensembles de données naturels. Introduite par Simon Newcomb (1881) puis formalisée par Frank Benford (1938), cette loi suggère que les chiffres les plus bas apparaissent plus fréquemment en début de nombre. Elle a été appliquée à divers ensembles de données, tels que les transactions financières, la longueur des cours d’eau et les chiffres de population.

Dans le domaine de l’audit, des chercheurs (Durtschi et al., 2004 ; Arkan, 2010 ; Ardiansah & Sudarto, 2017) ont démontré que la loi de Benford permet d’identifier des irrégularités dans les données qui méritent un examen plus approfondi. Elle est désormais intégrée à des outils logiciels d’audit tels que ACL et CaseWare.

Ses applications vont de l’intégrité des données informatiques (Debreceny & Gray, 2010) à la détection de fraudes dans les statistiques nationales (Holz, 2014), en passant par les rapports environnementaux (Stoerk, 2016) et l’analyse des fraudes électorales (Leeman & Bochsler, 2014). KPMG et d’autres cabinets internationaux ont recommandé son utilisation dans le cadre de l’audit judiciaire (Pavlovic, 2019).

3. Méthodologie de recherche

3.1 Collecte des données

L’étude a analysé 129 contrats de la municipalité de Messini et 230 de la municipalité de Trifylia, tous extraits de la plateforme électronique des marchés publics de Grèce (Promitheas). Ces contrats reflètent des dépenses pour 2021 s’élevant respectivement à environ 3,73 millions d’euros et 10,22 millions d’euros.

3.2 Modèle statistique

Nous avons utilisé des tests Z et des tests du Chi carré pour mesurer les écarts par rapport à la distribution attendue de Benford pour les premier et deuxième chiffres. Ces tests évaluent l’hypothèse nulle (H0 : aucune irrégularité) par rapport à l’hypothèse alternative (H1 : irrégularités potentielles). Un niveau de signification de α = 0,05 a été retenu.

Les distributions de probabilité de Benford pour les fréquences des chiffres ont été utilisées comme référence, et les valeurs critiques ont été basées sur des tables statistiques standard (valeur critique Z = 1,96 ; valeurs critiques du chi carré = 15,507 pour le premier chiffre, 16,919 pour le deuxième chiffre).

4. Résultats et discussion

4.1 Municipalité de Messini

Des écarts significatifs ont été observés dans la fréquence des chiffres. Pour le premier chiffre (voir tableau 1), les valeurs 1, 2 et 9 ont dépassé le seuil critique Z. La valeur globale du chi carré (22,250) a également dépassé la limite critique, ce qui indique un rejet de l’hypothèse nulle. Des écarts similaires ont été constatés pour les valeurs 3 et 8 du deuxième chiffre (voir tableau 2).

Tableau 1. Répartition des premiers chiffres dans les dépenses de la municipalité de Messini (2021).

1er chiffre	Nombre d’observations	Po	Pe	Po-Pe	Fo	Fe	Fo-Fe	Z	x²	valeur critique du chi carré
1	61	0,473	0,301	0,172	61	39	22	3,319	12,659
2	13	0,101	0,176	-0,075	13	23	-10	2,812	4,148
3	11	0,085	0,125	-0,040	11	16	-5	1,491	1,629
4	14	0,109	0,097	0,012	14	13	1	0,278	0,177
5	9	0,070	0,079	-0,009	9	10	-1	0,240	0,139
6	6	0,047	0,067	-0,020	6	9	-3	0,906	0,808
7	7	0,054	0,058	-0,004	7	7	0	-0,007	0,031
8	6	0,047	0,051	-0,004	6	7	-1	0,033	0,051
9	2	0,016	0,046	-0,030	2	6	-4	2,486	2,608
total	129	1	1	0	129	129	0	–	22,250	15 507

Tableau 2. Répartition des deuxièmes chiffres dans les dépenses de la municipalité de Messini (2021).

2e chiffre	Nombre d’observations	Po	Pe	Po-Pe	Fo	Fe	Fo-Fe	Z	x²	valeur critique du chi carré
0	25	0,194	0,120	0,074	25	15	10	1,923	5,855
1	10	0,078	0,114	-0,036	10	15	-5	1,413	1,506
2	17	0,132	0,109	0,023	17	14	3	0,627	0,614
3	7	0,054	0,104	-0,050	7	13	-6	2,362	3,068
4	12	0,093	0,100	-0,007	12	13	-1	0,122	0,063
5	14	0,109	0,097	0,012	14	13	1	0,278	0,177
6	8	0,062	0,093	-0,031	8	12	-4	1,298	1,332
7	16	0,124	0,090	0,034	16	12	4	1,019	1,660
8	4	0,031	0,088	-0,057	4	11	-7	3,587	4,761
9	16	0,124	0,085	0,039	16	11	5	1,185	2 312
total	129	1	1	0	129	129	0		21 348	16 919

4.2 Commune de Trifylia

Les données ont montré moins d’écarts. Seuls le chiffre 2 (voir tableau 3) et les chiffres 4 et 9 (voir tableau 4) ont dépassé le seuil critique Z. Cependant, le résultat global du test du Chi carré pour le premier chiffre (11,657) n’a pas dépassé la valeur critique, ce qui implique une conformité générale avec la loi de Benford.

Tableau 3. Répartition des premiers chiffres dans les dépenses de la municipalité de Trifylia (2021).

1er chiffre	Nombre d’observations	Po	Pe	Po-Pe	Fo	Fe	Fo-Fe	Z	x²	valeur critique du chi carré
1	83	0,361	0,301	0,060	83	69	14	1,742	2,739
2	30	0,130	0,176	-0,046	30	40	-10	2,007	2,713
3	21	0,091	0,125	-0,034	21	29	-8	1,691	2,089
4	22	0,096	0,097	-0,001	22	22	0	-0,043	0,004
5	23	0,100	0,079	0,021	23	18	5	0,941	1,284
6	12	0,052	0,067	-0,015	12	15	-3	0,870	0,755
7	17	0,074	0,058	0,016	17	13	4	0,790	1,004
8	14	0,061	0,051	0,010	14	12	2	0,486	0,439
9	8	0,035	0,046	-0,011	8	11	-3	0,753	0,629
total	230	1	1	0	230	230	0		11,657	15,507

Tableau 4. Répartition des chiffres des dizaines dans les dépenses de la municipalité de Trifylia (2021).

2e chiffre	Nombre d’observations	Po	Pe	Po-Pe	Fo	Fe	Fo-Fe	Z	x²	valeur critique du chi carré
0	34	0,148	0,120	0,028	34	28	6	1,079	1,484
1	30	0,130	0,114	0,016	30	26	4	0,636	0,545
2	20	0,087	0,109	-0,022	20	25	-5	1,083	1,025
3	26	0,113	0,104	0,009	26	24	2	0,327	0,181
4	15	0,065	0,100	-0,035	15	23	-8	2,041	2,783
5	15	0,065	0,097	-0,032	15	22	-7	1,850	2,395
6	20	0,087	0,093	-0,006	20	21	-1	0,209	0,090
7	19	0,083	0,090	-0,007	19	21	-2	0,289	0,140
8	18	0,078	0,088	-0,010	18	20	-2	0,429	0,248
9	33	0,143	0,085	0,058	33	20	13	2,357	9,253
total	230	1	1	0	230	230	0		18,144	16,919

4.3 Comparaison récapitulative

La municipalité de Messini a présenté des écarts plus importants et plus nombreux sur les deux positions de chiffres, ce qui suggère un risque plus élevé d’irrégularités. Environ 74,10 % des montants des contrats de Messini comportaient des chiffres suspects, contre 22,03 % pour Trifylia (voir tableau 5). Ces résultats justifient l’utilisation de la loi de Benford pour hiérarchiser les efforts d’audit et optimiser l’allocation des ressources.

Tableau 5. Contrats émis dont les premiers chiffres ne sont pas conformes à la loi de Benford

	Chiffres non conformes		Contrats (n)	Contrats (€)	% du total des contrats
Commune de Messini	1er chiffre	1, 2 et 9	76	2 433 183,67 €	65,18
	2e chiffre	3 et 8	11	333 030,90 €	8,92
Commune de Trifylia	1er chiffre	2	30	782 085,53 €	7,65
	2e chiffre	4 et 9	48	1 469 650,74 €	14,38

5. Conclusion

L’analyse confirme la valeur de la loi de Benford en tant qu’outil d’audit préliminaire pour les dépenses publiques. La municipalité de Messini a présenté un écart plus important et pourrait donc présenter un risque d’audit plus élevé. Compte tenu des écarts statistiquement significatifs constatés, qui sont des indicateurs d’irrégularités potentielles, les organismes d’audit public pourraient identifier des cas à examiner. La loi de Benford permet une hiérarchisation fondée sur les données dans la planification des audits, en fournissant des indicateurs de transparence et en soutenant les décisions stratégiques.

De futures recherches pourraient étendre l’ensemble de données à davantage de municipalités afin d’établir un indice de transparence intégrant la conformité à la loi de Benford comme variable centrale.

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Références

1. Benford, F. (1938). The Law of Anomalous Numbers. Proceedings of the American Philosophical Society. (La loi des nombres anormaux. Actes de l’American Philosophical Society.)
2. Carslaw, C. (1988). Anomalies in Income Numbers: Evidence of Goal-Oriented Behavior. The Accounting Review. (Anomalies dans les chiffres relatifs au résultat : des indices d’un comportement axé sur les objectifs. The Accounting Review.)

• Durtschi, C., Hillison, W., & Pacini, C. (2004). The Effective Use of Benford’s Law to Assist in Detecting Fraud in Accounting Data. Journal of Forensic Accounting. (L’utilisation efficace de la loi de Benford pour aider à détecter la fraude dans les données comptables. Journal of Forensic Accounting.)
• Nigrini, M. (2011). Forensic Analytics: Methods and Techniques for Forensic Accounting Investigations. Wiley. (Analyse judiciaire : méthodes et techniques pour les enquêtes de comptabilité judiciaire. Wiley.)
• Pavlovic, V. (2019). Benford’s Law Analysis to Determine Audit Priorities. Case Study. (Analyse de la loi de Benford pour déterminer les priorités d’audit. Étude de cas.)
• Sartori Cella, R., & Zanolla, E. (2018). Benford’s Law and Transparency: An Analysis of Municipal Expenditure. Brazilian Business Review. (La loi de Benford et la transparence : une analyse des dépenses municipales. Brazilian Business Review.)
• Yudhistira, & Nengzih, N. (2021). Benford’s Law Analysis to Determine Audit Priorities. Saudi Journal of Economics and Finance. (Analyse de la loi de Benford pour déterminer les priorités d’audit. Saudi Journal of Economics and Finance.)